Appunti

universitystudyingsubject-3101

Fisica

Realizzato in collaborazione con Kevin Speranza.

1 Cinematica del punto materiale

si occupa di descrivere il moto degli oggetti, senza porsi il problema di collegare il moto alle cause che lo determinano.

DEF: punto materiale
un sistema fisico è schematizzabile come punto materiale (ovvero che esso si comporta come un punto materiale) se le sue dimensioni lineari sono piccole rispetto alla precisione con cui ci interessa determinarne la posizione.

ex: nave a largo

N.B.
dato un vettore

prodotto scalare

1. somma dei prodotti membro a membro

1.1 legge oraria

Serve per conoscere la posizione del punto materiale in funzione del tempo.

DEF: velocità media

DEF: velocità istantanea

1.1.1 moto rettilineo uniforme

Ipotesi:

1. velocità costante:
2. in funzione del tempo:
3. punto parte da :

Tesi:

Dimostrazione:
per definizione la velocità è

per ricavare la legge dello spostamento è sufficiente integrare la velocità, che è costante:

per far valere l’ipotesi 3 dobbiamo imporre che:

1.1.2 moto uniformemente accelerato

Ipotesi:

1. accelerazione costante:
2. in funzione del tempo:
3. punto parte da :
4. punto parte con una velocità :

Tesi:

Dimostrazione:
per definizione:

imponendo l’ipotesi 4:

per ottenere la legge oraria dello spostamento

imponiamo 3:

1.1.3 Esempio: moto balistico

Da ipotesi abbiamo che il proiettile si muove con legge:

inoltre:
5. viene lanciato con angolo
6.
7.
8.

dobbiamo trovare la gittata massima

• Per gittata si intende la distanza ricoperta dalla particella prima di toccare terra

Soluzione:
Nel momento in cui toccherà terra:

risolvendo:

sostituiamo nella

dalla proprietà dei vettori e dalla seguente proprietà:

avremo:

quindi è massima quando

2 dinamica

DEF: La dinamica tratta le relazioni fra il moto degli oggetti e le cause (dette forze) che tale moto determinano.

2.1 Principi

1. Un punto materiale libero se messo in quiete rimane in quiete

UNITÀ DI MISURA:

2.2 Forza peso

si osserva sperimentalmente che il rapporto è costante, altrimenti corpi diversi subirebbero accelerazioni differenti.

per semplicità assumiamo , risulterà:

2.2.1 legge oraria punto materiale su un piano

da vedere
todo

2.3 quantità di moto

Si dice quantità di moto:

2.3.1 forza impulso

denotiamo con:

scriveremo quindi la forza impulso come la variazione di quantità di moto:

2.4 lavoro

2.4.1 lavoro infinitesimo

Consideriamo dunque un punto materiale di massa che si muove in un sistema di riferimento inerziale (rispetta la prima legge della dinamica), sottoposto a una forza

Sia lo spostamento:

• con vettore posizione

diremo lavoro elementare relativo allo spostamento elementare :

Unità di misura “joule”:

2.4.2 lavoro

dati due punti A e B, per calcolare il lavoro da A a B:

2.4.3 energia cinetica: Teorema del lavoro

in quanto:

definiamo K come “energia cinetica”

vale per qualunque tipo di forza

2.4.4 energia potenziale: teorema di conservazione dell’energia meccanica

Una forza si dice conservativa se il suo lavoro dipende solo da A e B.

Se una forza è conservativa vale quindi:

Axx:

2.4.5 potenza

lavoro per unità di tempo

UNITÀ DI MISURA:

3 Forza di gravità

Costante di gravitazione universale:

3.1 Forza di attrazione

Dati due punti materiali ,
Con vettore distanza a

Definiamo la forza con cui viene attratto a :

3.2 Lavoro ed energia meccanica durante lo spostamento

Supponendo che si sposta da un punto A ad un punto B (allontanandosi da con stessa direzione di )

supponendo , e che il lavoro, a meno di una costante nell’energia potenziale, non cambia:

3.3 Cambiamento velocità in avvicinamento

si trova ad un distanza infinita, per poi avvicinarsi fino ad arrivare a una distanza .

vale questa relazione

• : velocità distanza iniziale (distanza infinita)
• : velocità a distanza

OSS:
in quanto , avremo:

quindi la velocità aumenta man mano che si avvicina ad .

3.4 Velocità di fuga

Esiste una velocità oltre la quale un corpo , lanciato con tale velocità si allontanerà di una distanza infinita, non tornando più indietro.

: velocità raggiunta dalla particella non appena esce dal campo gravitazionale
: velocità di fuga
: raggio del terra

siccome
La formula vista prima considerava che la velocità veniva raggiunta quando la distanza era minore, rispetto alla velocità . Quindi, qui si invertono: .

4 Forza elastica o richiamo

• : costante elastica (dipende dal materiale), corrisponde alla forza da applicare per spostare la molla di .
  • si misura in
• : vettore verso cui si sposta la molla

La forza elastica richiama la particella verso il “punto di equilibrio” (punto in cui è in stato di quiete).

4.1 Equazione del moto

da cui ricaviamo la seguente equazione differenziale lineare omogenea:

risolviamo tramite guess:

• : ampiezza
• : pulsazione / frequenza
  • si misura in
• : fase

dobbiamo ora sostituire questa guess nell’equazione :

• calcolo la derivata seconda

• sostituisco

risolvo e trovo:

quando non ci interessa.
a noi interessa risolvere:

dobbiamo ora imporre le ipotesi:

per garantire l’ipotesi 2, dobbiamo imporre che l’equazione della velocità sia uguale a zero al tempo 0:

lo sarà quando

per garantire l’ipotesi 1:

quindi l’equazione del moto elastico di una particella che parte dal punto , da ferma è la seguente:

4.1.1 Periodo

Il moto della forza elastica è un moto periodico di tempo.

4.2 Energia meccanica/potenziale forza elastica

La forza elastica è conservativa.

in quanto di forza conservativa:

con:

5 Forza di attrito

5.1 Forza viscosa

Primo esempio di forza d’attrito.
Consideriamo una pallina dentro un cilindro che si muove verso il basso a causa della forza peso

Se il movimento fosse dipeso solo da sarebbe un moto uniformemente accelerato:

ma dall’esperienza sappiamo:

Si osserva sperimentalmente che la velocità di un punto materiale in un liquido arriva a una velocità per .

• si chiama resistenza viscosa, dipende dal fluido e dalla sua geometria.
• il segno meno è dato dal verso opposto rispetto a

Sperimentalmente, sappiamo che per , quindi:

5.1.1 Equazione del moto

Si dimostra matematicamente che vale:

Abbiamo quindi trovato l’accelerazione. Per ottenere la forza è sufficiente moltiplicare per .

5.1.2 Lavoro

La forza d’attrito è una forza che si oppone al movimento della particella, rallentandone la velocità.
Vengono dette dissipative: dissipano energia cinetica.

5.2 Attrito statico

Quando si applica una forza a un oggetto serve una forza minima per farlo spostare.

L’attrito con il piano è detto attrito statico.

Coefficienti di attrito:

• : coefficiente di attrito statico, ovvero quello relativo alla forza minima per fare spostare il corpo

• : coefficiente di attrito cinematico (o dinamico), ovvero quello relativo al rallentamento del corpo in movimento (fino a fermarsi)
  Vale che:
  I coefficienti di attrito sono compresi tra

• : Reazione vincolare o normale, ovvero la forza sviluppata dal piano

• : Forza peso

• : Forza di attrito massima che superata fa spostare il corpo

• : Forza applicata

• o o : Forza di attrito / forza critica.

  • Finché

Il corpo è in quiete, quindi vuol dire che:

• Le forze verticali si annullano:
• Le forze orizzontali si annullano:

5.3 Attrito cinematico (o dinamico)

Vale che:

5.3.1 Lavoro

come la dimostrazione della forza viscosa

5.4 Piano inclinato

Vogliamo cercare la condizione di affinché un corpo in quiete rimanga in quiete.
Quando . quindi:

se non soddisfa vuol dire che la forza di attrito statico non è sufficiente per bilanciare il corpo.

n.b. si usa il al posto del perché l’angolo non è quello in alto a sinistra, ma il complementare.

5.4.1 Moto del corpo nel piano inclinato

L’accelerazione è quindi costante, non dipende dal tempo.

6 Pendolo

6.1 Equazione del moto

Un oggetto puntiforme di massa è sospeso a un filo inestensibile e inflessibile, di massa trascurabile di lunghezza .

• : lunghezza del filo inestensibile

Si scompongono le componenti delle forze.
Consideriamo il nostro piano:

• asse X: coincide con
• asse Y: coincide con la circonferenza

Per studiare il moto si pongono le seguenti equazioni sulle due assi (rispetto al moto):

• asse perpendicolare:
  • Ponendo possiamo semplificare:
• asse parallela: dall’esperienza sappiamo che la traiettoria percorsa dal filo, formerà un arco della circonferenza, di raggio .

Risolvendo questa equazione trovata troviamo .
La risolveremo tramite una guess come nella forza elastica. È uguale, tranne per : si assume che . Siccome , si prova che:

Il periodo trovato è indipendente dalla massa e dall’angolo (sperimentalmente si nota che vale fino a )

7 Urto elastico

Un urto si dice elastico quando valgono le seguenti condizioni:

Siano due particelle con velocità iniziale e con massa e . Indichiamo con e le velocità dopo la collisione della prima particella verso la seconda. Assumiamo che .

Utilizzando l’ipotesi della quantità di moto:

Aggiungendo la seconda ipotesi si ottiene:

7.1 Come il rapporto delle masse cambiano il sistema

7.1.1 Masse uguali

Usando le formule si ottiene:

Il moto (la velocità) viene trasferito dalla prima alla seconda particella.

7.1.2 Massa maggiore:

Usando le formule si ottiene:

La velocità della prima particella rimane costante, mentre la seconda particella prende il doppio della velocità della prima.

7.1.3 Massa minore:

Usando le formule si ottiene:

La prima particella torna indietro con la stessa velocità e la seconda rimane ferma.

7.2 Urti completamente anelastici

Avviene quando la collisione comporta l’unione delle due particelle come se fossero un unico corpo.
Un urto si dice completamente anelastico quando vale:

Siccome le particelle si uniscono (si fondono), , che chiameremo .

Si trova che:

8 Termodinamica

8.1 Principio zero

due corpi (il sistema) inizialmente in stati termici differenti, posti in contatto tra loro e isolati rispetto a tutto ciò che hanno intorno (ambiente esterno), dopo un certo tempo si trovano nello stesso stato termico.

8.2 Tipi di sistemi

Un sistema chiuso si dice in equilibrio termodinamico quando:

• equilibrio meccanico: l’insieme delle forze applicate è uguale a 0
• equilibrio termico: in tutti i punti del sistema la temperatura è la stessa (omogenea)
• equilibrio chimico: garantisce che non ci siano in corso reazioni che alterino la composizione relativa del sistema

I parametri di stato principali sono Temperatura, Pressione e Volume. C’è anche densità e altri…

8.3 Temperatura e caloria

Temperatura: grandezza fisica che quantifica lo stato termico in cui si trova un corpo

Calore: Energia scambiata tra due sistemi tra cui sussiste una differenza di temperatura

• Ex: pezzo di ghiaccio scaldato. La caloria corrisponde alla quantità di ghiaccio fuso in seguito al riscaldamento

Caloria: calore che va fornito ad un grammo di acqua per aumentare la sua temperatura da 14.5 Celsius a 15.5 Celsius

8.4 Trasformazioni

• Trasformazione termodinamica: Cambio dei parametri di stato di un sistema.
• Trasformazione tra stati di equilibrio: Stato iniziale e finale sono stati di equilibrio termodinamico.
• Trasformazione ciclica: Stato iniziale e finale coincidono.
• Trasformazione quasi-statica: durante la quale il sistema passa solo attraverso stati di equilibrio termodinamico
• Trasformazione reversibile:
  • Quando consente di tornare dallo stato finale a quello iniziale.
  • Trasformazione quasi-statica da uno stato iniziale (SI) ad uno finale (SF), per la quale è possibile andare da SF a SI ripercorrendo gli stessi stati intermedi che da SI hanno portato a SF.
• Trasformazione irreversibile: quando avvengono fenomeni dissipativi oppure la trasformazione non è quasi statica.
• Trasformazione spontanea: Trasformazione di un sistema isolato da uno stato di non equilibrio ad uno stato di equilibrio termodinamico.

8.5 Variabili di stato

• intensiva: se non dipende dall’estensione del sistema
  • ex: pressione, temperatura, densità
• estensiva: se dipende dall’estensione del sistema
  • ex: massa, volume

8.6 Gas perfetti

• Gas formato da un gran numero di molecole
• Volume molecole trascurabile
• Forze tra le molecole trascurabili
• Gli urti delle molecole con le pareti del recipiente sono elastici.

I gas rarefatti si comportano in maniera simile (approssimando).

8.6.1 Trasformazioni

Si parte in uno stato con pressione , volume e temperatura di .
: pressione a 0 gradi celsius
: volume a 0 gradi celsius
: costante indipendente dalla natura del gas

avremo le seguenti trasformazioni:

• isocora
  • a volume costante
• isobara
  • a pressione costante
• isoterma
  • a temperatura costante

possiamo riscrivere queste trasformazioni usando la scala di temperatura in kelvin:

Quando la temperatura in gradi celsius è zero avremo:

prendendo ad esempio la trasformazione a volume costante

le trasformazioni saranno quindi:

• a volume costante:
• a pressione costante:

Si osserva sperimentalmente che a temperatura di la pressione del gas va a zero

8.6.2 Equazione di stato

Vengono effettuate in sequenza due trasformazioni.

1. Trasformazione isocora da a

2. Mantenendo la temperatura (trasformazione temperatura costante) ed effettuando la trasformazione isoterma da a avremo:

pongo le trasformazioni a sistema e ottengo:

La quantità è costante

• : numero di moli
• : costante universale gas perfetti.

quindi:

8.6.3 numero totale di atomi

• : numero di Avogadro

8.6.4 Energia cinetica

L’energia cinetica totale sarà uguale:

• : velocità i-esimo atomo

8.6.4.1 relazione tra energia cinetica media e temperatura

data l’energia cinetica media:

si può dimostrare la relazione tra temperatura ed energia cinetica. Dato che:

mettendo a sistema questo risultato con il precedente:

la relazione sarà dunque:

questa relazione si può riscrivere usando la costante di boltzmann:

La temperatura è una misura dell’energia cinetica media delle particelle.

8.7 Calore scambiato in una trasformazione termodinamica

: quantità di calore scambiato

• dipende dalla trasformazione e non solo dalle temperature iniziali / finali

Tipi di calore:

• : calore specifico . Calore necessario per innalzare la temperatura di 1 kg di 1 grado Kelvin

• : calore molare . Calore necessario per innalzare la temperatura di 1 mole di 1 grado Kelvin

Approssimando:

• il calore specifico è indipendente dalla temperatura
• il calore molare è indipendente dal solido

approssimando avremo:

indichiamo con il calore che scambia un corpo per passare da una temperatura a :

8.7.1 Equilibrio termico

Siano () le temperature di due corpi all’interno di un sistema isolato.

In quanto il sistema isolato:

La temperatura di equilibrio è data dalla media pesata delle temperature dei due corpi, dove i pesi sono il prodotto tra massa e calore specifico dei corpi:

Caso limite :

8.8 Lavoro in una trasformazione termodinamica

• S: superficie
• P: pressione

Diremo lavoro di espansione:

Siccome:

la variazione di volume dopo la trasformazione sarà:

quindi:

il lavoro di un sistema termodinamico dipende dalla trasformazione seguita.

8.9 Primo principio della termodinamica

in ogni trasformazione ciclica il rapporto tra lavoro e calore è costante:

quindi potremmo esprimere il calore Q:

• in calorie
• in Joule: moltiplicando per la costante

Dunque calore e lavoro possono essere espressi nelle stesse unità di misura: il calore è una delle forme in cui l’energia si trasmette.

Se esprimiamo il calore in Joule possiamo scrivere:

In ogni trasformazione ciclica, il calore ed il lavoro scambiato sono uguali.
Presa una qualunque trasformazione che passa tra stati intermedi di una trasformazione ciclica, dipende solo dallo stato iniziale e finale:

con misuriamo l’energia interna del sistema.
Vale per tutte le trasformazioni (reversibili e non):

8.9.1 Altri tipi di trasformazione

Adiabatica:

nel caso di espansione adiabatica, ovvero lavoro associato a variazione di volume, se il lavoro è positivo avremo:

Quindi il sistema compie del lavoro verso l’esterno a spese della proprie energia interna che diminuisce.

Isocora:

nel caso di trasformazione isocora, se , ovvero è a contatto con un corpo più caldo (cede calore al nostro corpo)

quindi aumenta la propria energia interna.

Per tutte e due le trasformazioni vale il caso contrario.

8.9.2 Energia interna

8.9.2.1 Corpo solido

Volume e pressione sono immutabili:

dato un generico avremo:

8.9.2.2 Gas perfetto

Data un espansione libera e adiabatica di un gas rarefatto:

• : non scambia calore con l’esterno
• : le pareti non si spostano

dal primo principio:

l’energia interna dipenderà solo dalla temperatura:

Infatti, in base alla trasformazione avremo:

• trasformazione a volume costante:

• : calore molare a volume costante

dato un generico avremo:

per axx. la legge sopra vale sempre (non solo per trasformazione a volume costante).

• trasformazione a pressione costante:

dai risultati precedenti abbiamo:

per ipotesi la pressione è costante quindi :

ripartendo dalla 1:

8.9.2.3 cosa comportano le trasformazioni

Temperatura Costante
si ricorda che . siccome è costante .
siccome

allora

8.10 Secondo principio termodinamica

Il Primo Principio della Termodinamica non pone limiti alla conversione di calore in lavoro e viceversa.

In natura non esista le simmetria per cui:

Ex: frigorifero che ha bisogno del lavoro aggiuntivo per funzionare.

Enunciato di Clausius: La realizzazione di una trasformazione termodinamica il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un sistema a temperatura inferiore a uno con temperatura superiore è impossibile.

Enunciato di Kelvin-Planck: La realizzazione di una trasformazione termodinamica ciclica il cui unico risultato sia quello di assorbire calore da una sola sorgente e di trasformarlo integralmente in lavoro è impossibile.

sono equivalenti questi enunciati.

8.10.1 Ciclo di Carnot

Macchina termica reversibile, a gas perfetto.
Lavora con due sorgenti a temperature rispettivamente: , .


In quanto è un sistema chiuso avremo che , quindi:

8.10.1.1 Rendimento

si può dimostrare che per il ciclo di carnot:

8.10.1.2 disuguaglianza di Clausius

il teorema di carnot impone anche un limite superiore al rendimento della macchina termica reale:

quindi:

questa conclusione prende il nome di disuguaglianza di clausius

un enunciato alternativo:

8.10.2 entropia

nel caso di cicli reversibili:

definiremo come Entropia:

sarà una funzione che dipende solo dagli stati iniziale e finale del sistema termodinamico.

8.10.2.1 trasformazioni: irreversibile, reversibile

8.10.2.2 in una trasformazione adiabatica

se la trasformazione è reversibile, allora :

8.10.2.3 in un sistema isolato

se la trasformazione è reversibile, allora :

È il secondo principio della termodinamica espresso in termini dell’entropia.

8.10.2.4 caratteristiche

L’entropia di un sistema isolato non può diminuire.

• Ogni trasformazione irreversibile comporta un aumento dell’entropia dell’intero sistema.
• Ogni trasformazione reversibile non comporta una variazione di entropia dell’intero sistema.

Un sistema termodinamico + ambiente: sistema isolato.

L’entropia sarà:

quindi:

può accadere che oppure , l’importante che la relazione rimanga

8.10.2.5 calcolo

• nel corpo solido (per semplicità ):

sostituendo alla :

dato una generico :

• durante uno scambio termico:
  assumendo che e

sapendo che :

• per un gas perfetto:

data una generica:

per calcolare la variazione di entropia (assumendo che la temperatura sia costante e la trasformazione non è quasi-statica):

8.10.2.6 probabilità termodinamica

è più corretto legare l’entropia alla probabilità termodinamica.

Equazione di Boltzmann (valida solo nei sistemi isolati):

• : probabilità termodinamica. misura il numero di modi, a livello microscopico (microstati), in cui uno stato macroscopico (macrostato) può essere realizzato.

ex: modi in cui può uscire il numero 2 lanciando un dado

Il secondo principio della termodinamica sarà quindi:

Le trasformazioni spontanee sono quelle che comportano un aumento della probabilità termodinamica.

Equazione di Gibbs (valida anche in sistemi non isolati):

• : prob. del singolo macrostato

8.10.2.7 nei buchi neri

Corpo celeste con campo gravitazionale molto intenso, così intenso che la sua velocità di fuga è superiore alla velocità della luce. si forma per collasso gravitazionale di stelle massicce.

In genere la temperatura dei buchi neri astronomici è molto piccola, ma a lungo andare la radiazione causa la loro evaporazione.

8.10.3 Terzo principio della termodinamica: irraggiungibilità dello zero assoluto

9 Onde

Modo di trasmettere (far propagare) energia senza un trasferimento di materia.

ex: Onde sulla superficie libera dell’acqua provocate da una perturbazione (fanno muovere solo in verticale)

• le molecole di acqua oscillano intorno alle proprie posizioni di equilibrio, per cui alla propagazione del massimo, cui corrisponde la propagazione dell’energia, non corrisponde un trasferimento di materia

Tipo di onde:

• trasversali: Le vibrazioni sono perpendicolari alla direzione di propagazione dell’onda (ex: sismiche ad S, corda tesa, elettromagnetiche)
  • 
• longitudinali: Le vibrazioni sono concordi alla direzione di propagazione dell’onda (sismiche a P, acustiche)
  • 

9.1 Onde sinusoidali

• : lunghezza d’onda (periodo spaziale dell’onda)
  • 
• : Periodo dell’onda (periodo temporale)
  • 

velocità di propagazione:

Un’onda stazionaria si forma quando un’onda sinusoidale che viaggia in una direzione, caratterizzata da e , interferisce con un’onda con uguali e e viaggia in direzione opposta

9.2 Onde di pressione

Suono (onde acustiche): onde di pressione generate dalle oscillazioni delle particelle del mezzo attorno alle loro posizioni di equilibrio

9.2.1 equazione

VEDI SLIDE DI RUGGIERI (>>)

Ipotesi: l’onda si sposta verso un’unica direzione.

Considerando un volume di area e uno spessore

A seguito del passaggio dell’onda questo volume può subire un’espansione o decompressione.
Quindi il suo spessore passa da a

Avremo una variazione di pressione:

Ora ricordiamo che nei gas perfetti la pressione:

per passare al prossimo passaggio ci sono due strade:

• def chat:
  • 
• def prof:
  • metti la formula della prima riga dicendo “in quanto , la forza sarà opposta al gradiente della pressione”

ricapitolando, avendo quindi una variazione infinitesima avremo:

piccolo assiomino:

sostituendo :

lasciamo l’equazione 1 da parte, la useremo dopo.

Noi sappiamo che

data una massa infinitesima avremo:

per il passaggio dell’onda avremo uno spostamento:

eguagliamo le equazioni 1 e 2:

: densità a tempo

vogliamo calcolare .
Nonostante l’onda passi e il volume si espande / comprime, la massa non cambia:

quindi:

assiomaticando:

in quanto

concludiamo:

che è soddisfatto solo per

9.3 Intensità

Energia per unità di superficie e di tempo trasportata da un’onda ()

9.4 Interferenza

sovrapposizione di due (o più) onde.
In genere, gli effetti combinati delle onde in sovrapposizione è diverso da quello ottenuto dalle singole onde.

9.5 Diffrazione

La diffrazione è importante quando l’ostacolo attraversato dall’onda ha dimensioni comparabili con la lunghezza d’onda

10 Meccanica Quantistica

non si capisce un cazzo

10.1 Corpo nero

Più alta è la temperatura di un sistema, più alta è la frequenza della radiazione termica del sistema.

Corpo nero:

• corpo in grado di assorbire tutte le radiazioni incidenti. Di qualunque lunghezza d’onda siano
• emette radiazioni elettromagnetiche
• c’è un equilibrio radiazione emessa/assorbita degli atomi

Ex approssimando: il sole

La radiazione del corpo dipende solo dalla temperatura

Riproduzione sperimentale:

• cavità a temperatura costante (forno)
• gli atomi all’interno emettono/assorbono radiazioni elettromagnetiche
• ci sarà un foro dove le radiazioni potranno uscire

Meccanica Classica

I modi sono le diverse modalità con cui le onde elettromagnetiche possono vibrare in un cavità (a diverse frequenze).
I modi in una cavità sono distribuiti in frequenza secondo una legge che dipende dalla geometria del sistema. In generale, nei sistemi tridimensionali, il numero di modi cresce rapidamente con la frequenza (quadratico).
Ci sono tanti modi ad alte frequenza, tanti modi a basse frequenze.
Per il teorema di equipartizione dell’energia, ogni modo deve avere la stessa quantità di energia. Questo spiega la catastrofe ultravioletta.

in questo modo possiamo studiare e capire la relazione tra frequenza e intensità elettromagnetica (potere emissivo)

Occhio che nel grafico viene plottato , che è il periodo. A un valore alto di lambda corrisponde una bassa frequenza.

Legge di Wien (sperimentale):

: energia emessa tramite radiazione elettromagnetica dal corpo nero, per unità di tempo, unità di area e unità di lunghezza d’onda/frequenza

Secondo la fisica classica vige il principio di equipartizione dell’energia: l’energia totale di un sistema termodinamico si distribuisce equamente tra i suoi diversi gradi di libertà a temperatura termica di equilibrio.

Applicando la fisica classica si ottenevano risultati che non avevano una conferma teorica

• Viene descritto solo l’andamento per grandi lunghezze d’onda
• Per basse lunghezze d’onda si ottiene intensità infinita (catastrofe ultravioletta)

Plank ipotizza che l’energia di ogni modo dipende da ed è quantizzata:
Ottenendo:

Essenzialmente: a ogni modo è associato un numero di livelli di energia . L’energia viene rilasciata (in maniera discreta) man mano che gli elettroni nei livelli vengono eccitati (si riempiono). Quando i livelli finiscono, il fotone smette di assorbire energia.

che è in disaccordo con la fisica classica

NB: con l’energia tende a quella prevista dalla fisica classica

Legge di Stefan-Boltzmann:

10.2 Modelli

10.2.1 Thomson - modello panettone

l’atomo è costituito da una distribuzione di carica positiva diffusa all’interno della quale sono inserite le cariche negative. Nel complesso l’atomo è elettricamente neutro.

Si è dimostrato falso attraversando l’atomo con delle particelle α / raggi α.
Se la carica positiva fosse stata diffusa cioè distribuita uniformemente su tutto il volume atomico, le particelle α sarebbero dovute passare tutte.

10.2.2 Rutherford

La carica positiva dell’atomo è concentrata nel nucleo, mentre quella negativa è trasportata dagli elettroni che orbitano intorno al nucleo. Le dimensioni delle orbite elettroniche sono molto più grandi di quelle del nucleo.

Elettroni in orbita - radiazione elettromagnetica:

• Gli elettroni dovrebbero perdere costantemente energia, cedendola sotto forma di radiazione elettromagnetica. Questo modello atomico non spiega la stabilità degli atomi osservati in natura.

Rutherford non spiega il perché delle righe discrete degli spettri di emissione e assorbimento, misurate negli esperimenti.

10.2.3 Bohr

I livelli energetici dell’elettrone sono quantizzati.
Gli elettroni, anche se in orbita intorno al nucleo, possono solo cedere/assorbire quantità finite di energia: quanti.

Esiste uno stato con energia più bassa: stato fondamentale.

• L’elettrone nello stato fondamentale non può cedere energia perché non ci sono stati occupabili con energia più bassa.

Quindi, in questo modello l’atomo di idrogeno è stabile.

10.2.4 onda de broglie

Ad ogni particella di massa , che si muove con velocità , è associata un’onda, la cui lunghezza d’onda, , è data da:

Per i corpi macroscopici, è molto più piccola delle dimensioni dei corpi, per cui è trascurabile.
Per l’elettrone, è dell’ordine delle dimensioni dell’atomo, per cui non è trascurabile.

Nell’ interpretazione moderna, l’onda di de Broglie è intesa come un’onda di probabilità.

• Così come le onde sono soggette ai fenomeni di interferenza, anche le onde di de Broglie associate alle particelle possono sperimentare interferenza, così come altri fenomeni tipici della propagazione per onde.

Abbandoniamo una descrizione particellare-deterministica delle particelle, sostituendola con una ondulatoria-probabilistica

Invece della traiettoria di una particella, introduciamo una funzione , che chiamiamo funzione d’onda.
Rappresenta l’ampiezza di probabilità , che la particella si trovi in al tempo .

Probabilità:

10.2.5 Esperimento due fenditure

• Caso sorgente è una pistola che spara proiettili macroscopici
  

le probabilità si sommano e otteniamo:

• Caso sorgente emette luce
  

avremo in aggiunta un termine di interferenza:

Gli elettroni negli esperimenti di doppia fenditura mostrano proprietà sia ondulatorie che corpuscolari.
Questo suggerisce che si possa parlare di dualismo onda-particella.

Al giorno d’oggi, il termine «dualismo onda-particella» ha più che altro un significato storico.

Sarebbe più opportuno affermare che le particelle elementari si comportano come «quantoni», descritti da funzioni d’onda che evolvono in accordo alle leggi della Meccanica Quantistica.

Infatti, quando noi scriviamo la funzione d’onda di un sistema quantistico, non facciamo ipotesi sulla natura corpuscolare e/o ondulatoria del sistema stesso. Ci limitiamo a definire una funzione, , la quale ci dà la probabilità che il sistema si trovi in una certa posizione ad un certo tempo.

10.3 Equazione di Schrodinger

Tutte le informazioni sullo stato del sistema sono contenute nella funzione d’onda, la cui dinamica è governata da un’equazione differenziale:

Con le opportune modifiche la si può paragonare all’equazione

Esiste una variante che risolve i problemi time-independent:

• risolvendo l’equazione di shrodinger stazionaria

10.4 Principio di Heisenberg

Un sistema quantistico non possiede posizione e impulso () definiti con infinita precisione.

le incertezze su posizione e impulso soddisfano la relazione:

L’impossibilità di conoscere simultaneamente impulso e posizione non è legata al disturbo arrecato da processi di misura, ma alla natura intrinseca dello stato quantistico.

Ex: di una particella con velocità definita ( basso) non sapremo la posizione ( alto)

Si dice particella delocalizzata quando la probabilità di trovarla nello spazio è costante:

10.5 Sovrapposizione di stati

Così come le onde sono soggette a sovrapposizione e interferenza, anche gli stati quantistici possono sovrapporsi e interferire.

La stato-sovrapposizione non ha un valore definito della velocità, nonostante sia composto da stati con velocità definita.

10.6 Qubit

Un qubit può essere descritto come una combinazione lineare degli stati e .

10.7 Effetto tunnel

La possibilità di accedere a regioni classicamente proibite.

In meccanica quantistica potrebbe capitare che l’energia potenziale superi quella totale.

Fissata , ed essendo l’energia quantizzata:

potrebbe accadere che l’energia potenziale della particella superi quella totale, superando il turning point.

• nella meccanica classica non potrebbe accadere in quanto vi arriva con velocità nulla

Gli stati quantistici sono caratterizzati da:

• Indeterminismo intrinseco: Gli stati non hanno velocità e posizione determinati come in Meccanica Classica.
• Indistiguibilità delle particelle identiche
• Spin
• Bosoni-Fermioni