universitystudyingsubject-2103
Elementi di Analisi Matematica 2
2. Equazioni Differenziali
Definizione
Sia
e sia .
Si chiama equazione differenziale delordine (scritta in forma normale)
il problema della ricerca delle funzioni
tali che:
è derivabile in
si chiama soluzione dell’equazione di
L’insieme formato da tutte e sole le soluzioni disi chiama integrale generale dell’equazione data.
Definizione
Sia
e sia .
Si chiama equazione differenziale delordine (scritta in forma normale)
il problema della ricerca delle funzioni
tali che:
è derivabile 2 volte in
Problema di Cauchy
Enunciato
Sia
.
Si chiama problema di Cauchy associato a un’equazione differenziale di primo ordine di punto iniziale
il problema della ricerca delle soluzioni dell’equazione che verificano la condizione
si dice condizione iniziale.
Enunciato
Sia
.
Si chiama problema di Cauchy associato a un’equazione differenziale di primo ordine di punto iniziale
il problema della ricerca delle soluzioni dell’equazione che verificano le condizioni
e si dicono condizioni iniziali.
Si può dimostrare che, lavorando con funzioni continue, il problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.
Metodi risolutivi per alcune classi di equazioni differenziali
Esistono tante altre classi. Le funzioni possono essere in contemporanea di più classi, o di nessuna
A variabili separabili
con
Soluzioni
Una soluzione dell’equazione è una funzione
tale che:
è derivabile in
Soluzioni di
Se
Infatti:
Soluzioni di
Sono le soluzioni definite in
todo
Soluzioni di
Sono le soluzioni definite in
Lineare
Equazione omogenea
Se
Soluzioni
con
Dimostrazione
Risolvo l’equazione
Ci ritroviamo un’equazione a variabili separabili
categoria
categoria
Le soluzioni saranno quindi
Equazione completa
Se non è omogenea, l’equazione si dice completa.
Soluzioni
con
conprendendo
è una soluzione dell’equazione differenziale calcolata mediante il metodo della variazione delle costanti.
Lineare
Wronksiano
Due soluzioni
Equazione omogenea
Soluzioni
con
Coefficienti costanti
sarà l’unico caso trattato
Si trovano le soluzioni dell’equazione di secondo grado rispetto a
Le funzioni indipendenti soluzione dell’equazione omogenea sono:
- Se le soluzioni di (EQ2) sono reali e distinte:
- Se le soluzioni di (EQ2) sono reali e coincidenti:
- Se le soluzioni di (EQ2) sono complesse coniugate:
dove
Equazione completa
Soluzioni
con
*Trattiamo soltanto il caso a coefficienti costanti e con
Metodo risolutivo
Si calcolano
e considerando l’equazione omogenea associata a quella completa. Bisogna trovare
, dove:
è un polinomio di grado .
- se
allora - se
allora - se
allora coincide con la molteplicità di nelle soluzioni dell’equazione caratteristica
- se
e , allora - se
o ( ), allora - se
( ), allora Si sostituisce
nell’equazione originale, calcolando le relative e . Se
è una somma, si può scomporre in diverse funzioni, calcolando ogni separatamente sommando alla fine le trovate.
Metodo risolutivo per
complesso Potrebbe capitare che
non sia direttamente nella forma , ma che ad esempio contenga o .
Bisogna ricondurli nella forma.
Si ricorda:
Nel caso in cui
contenga, ad esempio, , si riconduce utilizzando la formula (EXP), ignorando l’assenza del (lo stesso vale al contrario).
Si risolve normalmente l’equazione completa, tenendo conto alla fine di ignorare:
- la parte immaginaria di
nel caso in cui si fosse ignorato (la parte immaginaria di (EXP)). - la parte reale di
nel caso in cui si fosse ignorato (la parte reale di (EXP)).