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Elementi di Analisi Matematica 2

3. Funzioni di due variabili

Topologia in

Intorno circolare

Definizione

È detto intorno circolare di di raggio il seguente insieme:

dove indica la distanza euclidea.

Punti di un insieme

Punto interno

Definizione

Dato un punto , esso si dice interno ad se ed esiste tale che

L’insieme dei punti interni di un insieme è detto interno.

Punto di frontiera

Definizione

Dato un punto , esso si dice di frontiera per se in ogni suo intorno circolare ci sono elementi di ed elementi di

L’insieme dei punti di frontiera di un insieme è detto frontiera.

Punto di accumulazione

Definizione

Dato un punto , esso si dice di accumulazione per se in ogni suo intorno ci sono elementi di distinti da .

L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme è detto derivato.

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Insieme aperto

Definizione

Un insieme è detto aperto se coincide con il suo interno, o se è vuoto.
È detto chiuso se il suo complementare è aperto.

Nota

Un insieme può non essere né aperto né chiuso.

Insieme limitato

Definizione

Un insieme è detto limitato se esistono e tali che .

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Funzione restrizione

??

Limite

Funzione regolare

Teorema

Una funzione è detta regolare al tendere di a se è convergente o divergente (se ha limite).

Condizione sufficiente e necessaria

Teorema

Siano e .
Se allora esisterà anche il limite di ogni restrizione di (che ovviamente contiene ).

Quindi, se esistono due restrizioni con limite diverso, non esiste il limite della funzione.

Calcolo limite

Se troviamo due restrizioni con limiti diversi possiamo dire con certezza che il limite non esiste.
Se troviamo una restrizione con limite , se il limite esiste possiamo affermare che dev’essere uguale ad .

Equazioni rette passanti per punto

È una condizione sufficiente per poter dire che il limite di una funzione in un punto non esiste.
Equivale a controllare tutte le rette passanti per il punto per cui si è interessati a calcolare il limite, per verificare che abbiano lo stesso limite.

Procedimento

Si prende la seguente restrizione:

Si calcola quindi e poi si fa il limite.
Se il risultato dipende da , possiamo affermare che il limite non esiste.
In caso contrario, se il limite non dipende da , ed è quindi una costante , possiamo dire che il limite, se esiste, è .
Si può fare un ulteriore controllo prendendo l’unica retta rimanente con il seguente insieme:

Nota

Per dimostrare che il limite di una funzione esiste è necessario utilizzare il teorema dei carabinieri.

Teorema di carabinieri

Utilizzato per dimostrare che, nel caso di forma indeterminata, il limite esiste ed è .

Procedimento

Si cerca di dimostrare che il limite è . Bisogna prendere due funzioni e tali che . Se e hanno lo stesso limite, allora anche avrà lo stesso limite.

Come si prende sempre . Si prende in considerazione la funzione .

Bisogna trovare . In generale si cerca di utilizzare le seguenti disuguaglianze per poter scomporre e trovare una funzione che sia maggiore di ma con il limite che non porti a una forma indeterminata.

Derivate

Derivate parziali prime

Rispetto a

Si calcola considerando come costante. Si indica con oppure

Rispetto a

Si calcola considerando come costante. Si indica con oppure

Gradiente

Definizione

Data una funzione , se essa è dotata di entrambe le derivate parziali prime in , si chiama gradiente il vettore di nel punto .

Derivate parziali seconde

Pure

si ottengono derivando due volte sulla stessa incognita

Miste

Teorema

Data una funzione dotata di derivate seconde miste. Sia . Se le funzioni e sono continue nel punto , allora .

Differenziabilità

La continuità è una condizione necessaria per la differenziabilità (come avviene nella funzioni di una variabile per la derivabilità).

Una condizione necessaria alla differenziabilità è la presenza di tutte le derivate direzionali. Non vale però il contrario.
Lo stesso accade per la continuità. Un punto continuo non è detto che sia differenziabile, ma vale il contrario.

Una condizione sufficiente per la differenziabilità è la presenza di entrambe le derivate parziali, di cui almeno una delle due continua.

Teorema

Se è differenziabile in un punto , allora è continua in quel punto e dotata di derivate parziali prime.

Teorema

Se è dotata di derivate parziali prime continue in un punto , allora è differenziabile in quel punto.

Derivate Direzionali

Le derivate non esistono soltanto rispetto alle due assi e .
Possono essere calcolate in direzione rispetto a un versore .
Le derivate parziali prime sono infatti le derivate calcolate rispetto ai versori e rispetto a e rispettivamente.

La differenziabilità è una condizione sufficiente per la presenza della derivata rispetto a un qualsiasi versore.

Per calcolarlo si tratta quindi di un prodotto scalare tra e

Ottenere versore da retta

Se si ha una retta e si vuole ottenere il versore parallelo è necessario scrivere l’equazione della retta nella forma . Il versore sarà quindi parallelo a . ( coincide con il coefficiente della , che nell’equazione in forma normale è sempre )
Per definizione, la lunghezza del versore dev’essere uguale a . Si calcola quindi la distanza euclidea tra e :
Si dividono entrambe le componenti del vettore per per ottenere il versore:

Se si vuole ottenere il versore perpendicolare a una retta, è necessario utilizzare il metodo precedente e calcolare il vettore parallelo. Si invertono le componenti e si inverte il segno di una delle due.
Ad esempio, si ottiene come vettore parallelo. I vettori perpendicolari saranno e

Estremi relativi e assoluti

Definizione

Diremo che un punto è un punto di massimo relativo di se

Teorema di Fermat

Teorema

Se un punto interno di ed è un punto di estremo relativo di e se è dotata di derivata lungo la direzione del versore nel punto allora

Inoltre, se in quel punto è dotata di entrambe le derivate parziali prime, allora varrà:

Tali punti si dicono stazionari.

I punti stazionari possono essere:

• punti di estremo relativo
• punti di sella

Hessiano

Classificazione Punti Stazionari

Si possono classificare i punti stazioni in estremi relativi o punti di sella effettuando uno studio dell’hessiano.

• Se
  • Il punto è un punto di minimo relativo
• Se
  • Il punto è un punto di massimo relativo.
• non può mai accadere che sia uguale a se l’hessiano è positivo.

• Il punto è un punto di sella

• non trattato nel corso

Ricerca dei Punti Stazionari

Si risolve il seguente sistema:

Non riusciamo quindi a trovare i punti in cui una delle due (o entrambe) derivate non esiste.

Ricerca del massimo e minimo assoluto

Per il teorema di Weierstrass, se una funzione continua è chiusa e limitata allora ammette massimo e minimo assoluti.

Si calcolano i seguenti insiemi:

• : insieme dei punti interni ad stazionari.
• : insieme dei punti interni ad in cui:
  • manca una delle due derivate prime
  • mancano entrambe le derivate prime
• : insieme dei punti di frontiera di .

Quindi:

si procede con il sistema.

se la funzione è derivabile è .

1. Si prende in considerazione la frontiera di .
   • spesso il dominio della funzione viene ristretto a un insieme di vertici (3 o 4).
2. Si calcolano le restrizioni rispetto ai segmenti di .
   • es. Se la restrizione è una retta parallela all’asse delle (con equazione ), calcolo .
   • es. Se la restrizione è una retta obliqua, si trova l’equazione della retta passante per i due punti e si trova la legge che associa a .
3. Si calcola la derivata prima e si pone uguale a .
4. Si calcola il valore della funzione nei punti trovati.