definizioni

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Definizioni

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare

si legge ” definita in a valori in “.

Strutture Algebriche

• Insieme: collezione di un elementi che hanno tutti una stessa caratteristica
• Funzione: dati due insiemi e , si dice (funzione) una legge che associa ad ogni elemento di uno di .
• Gruppo: insieme su cui è definita un’operazione * (G, *) e valgono le proprietà:
  • Associativa, Esistenza Elemento Neutro, Invertibilità
  • Si dice Abeliano se vale anche la Commutatività
• Anello: insieme su cui sono definite due operazioni + e * (G, +, *) e velgono le proprietà:
  • (G, +) è gruppo,
  • Con * vale associatività
  • Con * distributività
  • Si dice Commutativo se vale la Commutatività su *.
  • Si dice Unitario se esiste l’elemento neutro su *.
  • Si dice Campo se è commutativo e vale l’Invertibilità su *.

Matrici

• Matrice: tabella di n-righe e m-colonne:
  • Diagonale: se sopra e sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
  • Triangolare superiore o inferiore: se sopra o sotto la diagonale principale ci sono tutti zero.
  • Simmetrica: se la matrice è uguale alla sua trasposta.
  • Antisimmetrica: se la matrica è uguale all’opposta della sua trasposta.
• Determinante: numero associato ad ogni matrice quadrata.
• Rango: ci sono due definizioni:
  • ordine massimo di un minore non nullo estraibile dalla matrice
  • numero di elementi speciali
• Teorema Matrici Invertibili dice che:
  • a) una matrice A è invertibile
  • b) se allora la matrice inversa è:
  • c) se è invertibile allora
  • Dimostrazione (1*, L.7): si dimostra con il Teorema di Binet e i due Teoremi di Laplace.

Spazi Vettoriali

• Spazio Vettoriale: si dice spazio vettoriale su un campo K (K-spazio vettoriale) un insieme su cui sono definite due operazioni + e * (G, + *) e valgono le proprietà:
  • (G, +) è gruppo
  • Con * vale associatività.
  • Con * esiste elemento neutro.
  • Vale distributività della somma rispetto al prodotto esterno.
  • Vale distributività del prodotto esterno rispetto alla somma.
• Sottospazio: è sottospazio di se e è un spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto definite su .
• Intersezione tra sottospazi: è sempre un sottospazio
• Unione tra sottospazi: è sottospazio solo se uno dei due è sottoinsieme dell’altro (ovvio)
• Combinazione Lineare: un vettore è combinazione lineare di se esistono tali che .
• Insieme di Generatori: dato un K-spazio vettoriale , un insieme è detto insieme di generatori (indicato con ) se preso un qualunque vettore esso si può scrivere come combinazione lineare (C.L.) dei vettori di .
• Base: un insieme è detto Base di se ogni elemento di è combinazione lineare (C.L.) di in modo unico.
  • è base i vettori di sono L.I. e generatori.
• Linearmente Indipendenti: i vettori si dicono linearmente indipendenti se quando allora ne deve seguire che
• Lemma di Steinitz: numero di vettori generatori numero di vettori linearmente indipendenti.
• Teorema che caratterizza una base: dato , è un insieme i vettori sono L.I. e generatori.
• Teorema sulle Basi: tutte le basi di un K-spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.
  • Dimostrazione (2*, L10): Si usa il Lemma di Steinitz.

Sistemi Lineari

• Sistema Lineare: sistema di equazioni a più incognite di massimo 1° grado (c’è il termine noto)
• Teorema di Rouchè Capelli N°1: Sistema possibile (ammette almeno una soluzione).
• Teorema di Rouchè Capelli N° 2: quando il sistema è possibile () allora esistono soluzioni. indica il numero di incognite libere.
• Teorema di Cramer: Sistema determinato (ammette una e una sola () soluzione).
  • L’unica soluzione si calcola con:

	- $B_{1}$ si calcola sostituendo la $1^a$ colonna di $A$ con $B$.
	- $B_{2}$ si calcola sostituendo la $2^a$ colonna di $A$ con $B$.
	- $\dots$
	- $B_{n}$ si calcola sostituendo la $n^a$ colonna di $A$ con $B$.
- **Dimostrazione** (3\*, L13):
	- Nell'andata si dimostrano unicità, esistenza e formula.
	- L'unicità e l'esistenza si dimostrano con il **Teorema delle matrici invertibili**.
	- La formula si dimostra svolgendo l'equazione dell'esistenza.
	- Il ritorno si dimostra con il teorema di **Rouchè Capelli N°2**.

• Sistema lineare omogeneo: sistema lineare con nullo (non esistono termini noti).

Applicazioni Lineari

• Applicazione Lineare: corrispondenza (funzione) tra due K-spazi vettoriali.
• Immagine (): insieme del codominio formato dai vettori immagine dei vettori del dominio.
  • L’immagine è sottospazio del codominio, si dimostra (4*. L13) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno.
  • Studio
    • Base: vettori L.I. di V (gli stessi che formano il rango)
    • Equazione Cartesiana: metodo matrice Z (si mettono in riga i vettori base, nell’ultima riga le incognite, si calcola il determinante)
• Nucleo (): insieme del dominio formato dai vettori che hanno come immagine il vettore nullo.
  • Il nucleo è sottospazio del dominio, si dimostra (5*, L14) provando che è chiusa rispetto alla somma e al prodotto esterno esterno.
  • Studio
    • Base:
    • Equazioni Cartesiane: ricavate dal sistema precedente (o metodo matrice Z)
• Iniettività: una funzione si dice iniettiva se presi due qualsiasi vettori del dominio diversi allora ne deve seguire che le loro immagini siano diverse.
• Suriettività: una funzione si dice suriettiva se ogni vettore del codominio è raggiunto da almeno un vettore del dominio.
• Teorema sul Nucleo e Iniettività: afferma che è iniettiva
  • Dimostrazione (6*, L14)
• Applicazione Identica: applicazione lineare cui legge corrisponde a
• Applicazione Inversa: Date due applicazioni lineari e se e allora è invertibile e è detta applicazione inversa di .
  • e devono essere suriettive e iniettive.

Endomorfismi

• Endomorfismo: applicazione lineare dove dominio codominio.
• Isomorfismo: un’applicazione lineare biettiva (iniettiva e suriettiva), quindi necessariamente endomorfismo.
• Autovalore: dato un endomorfismo , si dice autovalore se esiste un vettore con tale che .
• Autovettore: dato un endomorfismo , , si dice autovettore se esiste un tale che .
• Autospazio: dato un endomorfismo , si dice autospazio il sottospazio di V definito nel modo seguente:
• Polinomio Caratteristico: data una matrice il .
• Molteplicità Algebrica: per molteplicità algebrica di si intende il numero di volte in cui è soluzione del polinomio caratteristico.
• Molteplicità Geometrica: per molteplicità geometrica di si intende la dimensione dell’autospazio .
• Endomorfismo Associato all’Autovalore: indichiamo con l’endomorfismo associato all’autovalore .
• Teorema sulle Molteplicità: dato un endomorfismo e un autovalore allora .
• Endomorfismo Semplice: un endomorfismo si dice semplice se esiste una base formata interamente da autovettori.
• Matrici simili: due matrici e si dicono simili se .
• Teorema sulla diagonalizzazione: una matrice è diagonalizzabile è semplice oppure se è simile a una matrice diagonale.
  • Matrice Diagonalizzata: matrice che ha sulla diagonale principale le molteplicità algebriche degli autovalori.
  • Matrice Diagonalizzante: matrice che ha in colonna una base degli autovettori.
• Teorema Autospazio: sia un K-spazio vettoriale e un endormofismo. Allora ne segue che .
  • Dimostrazione (7*, L19): si usa la definizione dell’autospazio.

Geometria

• Punto Impoprio: , anche detto “Punto all’infinito ”
• Individuazione Retta nel Piano:
  • 1°: Retta perpendicolare a un vettore e passante per un punto:
  • 2°: Retta parallela a un vettore e passante per un punto:
  • 3°: Retta passante per due punti:
• Individuazione Retta nello Spazio:
  • 1°: non più valida
  • 2°:
  • 3°:
  • 4°: Piano nello Spazio passante per tre punti:
• Retta nello spazio: la retta nello spazio viene vista come intersezione di piani.
• Rette Sghembe: due rette si dicono sghembe se non esiste alcun piano che le contiene
• Fascio di rette: con
• Conica: luogo geometrico dei punti del piano che con le loro coordinate soddisfano l’equazione di 2° grado in e :
  • Matrice : una 3x3 simmetrica (si usa la formula sopra).
  • Matrice : le prime due righe e colonne della matrice .
  • Classificazione:
    • Irriducibile (, quindi ):
      • Ellisse ():
        • Reale ()
        • Immaginaria ()
      • Parabola ()
      • Iperbole ():
        • Equilatera ()
    • Riducibile (, quindi ):
      • Rette spezzate distinte ()
      • Rette spezzate coincidenti ()
• Punti base: 4 punti per cui passano infinite coniche.
• Ellisse: luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la somma della distanza da due punti fissi detti fuochi ( e ).
  • Equazioni:
    • • e sono le soluzioni del P.C. di
  • Centro:

• Circonferenza: luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la distanza da un punto fisso detto centro.
  • Equazione (due forme):
    • 1°:
    • 2°:
      • Centro:
      • Raggio:
  • Centro:
  • Raggio:
  • Condizioni: e .
• Iperbole: luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la differenza della distanza da due punti fissi detti fuochi ( e ).
  • Equazione (due forme):
    • • e sono le soluzioni del P.C. di
• Asintoti: gli asintoti di un’iperbole sono delle rette che approssimano il comportamento dei rami dell’iperbole all’infinito. Man mano che i rami dell’iperbole si sviluppano, tendono ad avvicinarsi sempre di più agli asintoti senza mai toccarli.
• Parabola: luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e una retta detta direttrice.
  • Equazione Canonica: .
  • Centro: non esiste

* vedi file per le dimostrazioni.
L indica la lezione numero .