🎓Matteo Galletta

1. Integrali

Oct 14, 202315 min read

universitystudyingsubject-2103

Elementi di Analisi Matematica 2

1. Integrali

Primitive

Definizione

Sia .
è dotata di primitive in se tale che

  1. è derivabile in

Nota

  • Non tutte le funzioni hanno primitive (es. la funzione segno)
  • Una funzione continua ha primitive. Una funzione non continua non implica il non avere primitive. La continuità è una condizione sufficiente, ma non necessaria.

Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
primitiva di in

Tesi
Tutte e sole le funzioni primitive di in sono le funzioni del tipo:

Dimostrazione

  1. Dimostro che tutte le funzioni del tipo , con sono primitive di in
  1. Dimostro che tutte le funzioni del tipo sono le sole primitive.
    Se è un’altra primitiva di in allora tale che
    Consideriamo la funzione . Essa è derivabile in e

Il 2° corollario di Lagrange dice: “se due funzioni hanno la stessa derivata in un intervallo, esse differiscono per una costante”.

Quindi,

Integrale Indefinito

Definizione

Si chiama Integrale indefinito di l’insieme formato dalle primitive di in se è dotata di primitive, l’insieme vuoto se non ha primitive in .

è

Integrali Indefiniti Notevoli

()

Integrali di Funzioni Composte

  • gli altri sono uguali a quelli notevoli ma con , tutto per .

Proprietà di Omogeneità

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in

Tesi

  1. è dotata di primitive in

Dimostrazione

  1. Per ipotesi è dotata di primitive in e sia una sua primitiva.
  1. Per provare la si dimostrano le due inclusioni.
    Si prova che


Dobbiamo provare che , quindi
Se possiamo dire che

Se proviamo che è uguale a una primitiva di in , allora abbiamo provato che .

In conclusione, è primitiva di in , quindi

Proviamo adesso l’altra inclusione

, quindi

Devo provare che è una primitiva di


Abbiamo dimostrato che è una primitiva di

Proprietà di Linearità

Enunciato

Ipotesi
dotate di primitive in

Tesi

  1. è dotata di primitive in

Osservazione
Al secondo membro avviene la somma tra due insiemi, che di norma non è definita. Si intende invece l'insieme formato dalle funzioni che sono la somma di una delle primitive di e una delle primitive di .

  1. , con primitiva di

Osservazione
Al secondo membro si intende che, quando si tratta di una somma con un integrale, è possibile omettere la costante.

Integrazione per decomposizione in somma

Enunciato

Ipotesi
dotate di primitive
non entrambi nulli ()

Tesi

  1. è dotate di primitive in

Integrazione indefinita per parti

Enunciato

Ipotesi
derivabili
dotata di primitive in

Tesi

  1. è dotata di primitive in

Dimostrazione

e sono derivabili, quindi lo è anche .

Spostando di membro si ottiene:

Si integrano entrambi i membri e per la proprietà di linearità si ottiene:

è detto fattore finito
è detto fattore differenziale

Integrali indefiniti ciclici

Metodo risolutivo

Per risolvere un integrale del tipo:

È sufficiente portare al primo l’integrale e risolvere l’equazione isolandolo.

Metodo di Sostituzione

Formula

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
derivabile in
continua in

Tesi
Formula di integrazione per sostituzione:

Formula

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
derivabile in
continua in

invertibile in

Tesi
Formula di integrazione per sostituzione:

todo come risolvere esercizio

Integrali di Polinomi Trigonometrici

Prerequisiti di Trigonometria

oppure

pari
  1. Si scompone in
  2. Si trasforma in e si divide la frazione in
  3. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
  4. Si scompone utilizzando la proprietà di linearità degli integrali.
  5. Si procede ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.
dispari
  1. Si scompone in
  2. Si scompone in
  3. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
  4. Si moltiplica ogni membro della parentesi appena svolta per il iniziale.
  5. Si procede utilizzando l’integrazione composta e i vari metodi risolutivi.

  1. Si trasforma in
  2. Si trasforma in
  3. Si svolge la potenza elevando entrambi i fattori e ottenendo
  4. Si può portare fuori la costante
  5. Procedere ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.
con e entrambi pari
  1. Si prende e si sceglie oppure di grado inferiore, scomponendolo in
  2. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
  3. Si scompone utilizzando la proprietà di linearità degli integrali.
  4. Si procede ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.
con almeno oppure dispari
  1. Si prende e si sceglie oppure con il grado dispari. Se sono entrambi dispari è preferibile quello con il grado inferiore.
    supponiamo si sia scelto
  2. Si scompone in .
  3. Si procede come nel caso di con [[1. Integrali#n-dispari| dispari dallo step ]]

Integrali di Fratti Semplici

Caso 1:

Metodo risolutivo ( )

Metodo risolutivo ( )

Caso 2:

Metodo risolutivo

Il denominatore può essere scritto nel seguente modo:

Quindi si può svolgere l’integrale facendo riferimento all’uguaglianza precedente e all’integrazione notevole dell’:

Caso 3:

Caso Particolare

Metodo risolutivo

Se il numeratore è derivata del denominatore è sufficiente utilizzare l’integrazione fondamentale del .

Se il numeratore non è derivata del denominatore, bisogna fare in modo che lo diventi.

  1. Si moltiplica il numeratore per se è dispari. Ricordarsi di aggiungere fuori dalla frazione per compensare il fattore appena aggiunto.
  2. Fai sì di avere tra parentesi la derivata del denominatore, raccogliendo sulla base di . Ignora il fattore , metti al suo posto e compensa fuori dalle parentesi il valore aggiunto, annullandolo. Formalmente: .
  3. Si divide la frazione in due e si procede in i vari metodi.

Integrali di Equazioni Razionali Fratte

grado grado

Metodo risolutivo

È sufficiente effettuare la divisione tra polinomi finché non si ottiene al numeratore un polinomio di grado inferiore al denominatore.

Si può quindi procedere con gli altri metodi risolutivi

grado grado

Scomposizione di Polinomi

Ogni polinomio di grado ha radici in . Si consideri polinomio:

  1. Sia una radice reale con molteplicità di . Allora può essere diviso per
  1. Sia una radice complessa con molteplicità di . Allora si può dividere per

Si tratta della potenza di un polinomio di secondo grado con ed equazione del tipo:

Quindi, ogni polinomio si può fattorizzare nel prodotto di potenze di polinomi di 1° grado (punto ) e potenze di polinomi di 2° grado con (punto ).

Fattorizzazione di Frazione

Si può dimostrare che una frazione del tipo è la somma dei fratti semplici del tipo:

Ad esempio:

Metodo risolutivo

Per risolvere gli integrali di razionali fratti con numeratore inferiore a denominatore è necessario:

  1. Scomporre in fratti semplici la frazione. Trovare tramite sistema.
  2. Utilizzare la proprietà della linearità degli integrali per separare ogni frazione.
  3. Utilizzare gli altri metodi d’integrazione.

Trucchetti

Topologia in

Rettangolo

Definizione

Si definisce rettangolo di limitato il seguente insieme: .

Calcolo Area

La formula per il calcolo dell’area del rettangolo è la seguente:

Plurirettangolo

Definizione

Si definisce plurirettangolo l’unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni.

Calcolo Area

Sia

e

Enunciato

Dato un insieme dotato di punti interni e limitato, si definiscono due insiemi numerici e .

Essi sono entrambi non vuoti.

Misurabilità e calcolo area

Enunciato

Ipotesi
Siano e due insiemi così definiti:


Tesi
è misurabile secondo Peano-Jordan e la sua area è così definita:

Dimostrazione

todo

Integrale Definito

Decomposizione

Definizione

Dato un intervallo limitato, si chiama decomposizione di un insieme

I punti si chiamano capisaldi della decomposizione.

Ampiezza di decomposizione

Definizione

Somma Inferiore e Superiore

Definizione

Sia continua in .
Si consideri una sua decomposizione .
Siano

Si definiscono rispettivamente somma inferiore e somma superiore di relative a i seguenti numeri:

e

Definizione

Si definiscono due insiemi numerici e .

e sono contigui

Enunciato

Gli insiemi e sono contigui.

Dimostrazione

todo

Definizione

Data una funzione continua in , si chiama integrale definito tra e di f il seguente numero:

Proprietà

Proprietà Distributiva

Enunciato

Ipotesi
continue

Tesi

Proprietà Additiva

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

Teorema della Media

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

  1. con e

Dimostrazione

todo

Proprietà di Monotonia

Enunciato

Ipotesi
continue

Tesi

In particolare, se , allora .
Inoltre,

Funzione Integrale

Definizione

Data una funzione continua e un punto .
Si consideri definita da

si chiama funzione integrale di punto iniziale .

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

  1. è derivabile in

Si può enunciare come

Ogni funzione continua in un intervallo è dotata di primitive.

Dimostrazione

todo

Formula Fondamentale per il Calcolo degli Integrali Definiti

Enunciato

Ipotesi
continua
primitiva di in

Tesi

Dimostrazione

todo

Risoluzione esercizi

Valore assoluto

Metodo risolutivo

Si studia il segno di se tra e la funzione ha sempre lo stesso segno, allora la risoluzione è immediata e si procede sostituendo con a seconda del segno di .

Mettiamo caso che la funzione sia positiva in e negativa in .
L’integrale si scompone come segue: .

Si procede in maniera simile anche a segni invertiti o nel caso in cui ci siano più punti in cui la funzione cambia segno.