universitystudyingsubject-2103
Elementi di Analisi Matematica 2
4. Serie
Serie Fondamentali
Serie Telescopica
Serie Geometrica di ragione
Serie armonica
Serie armonica generalizzata
Serie esponenziale
Serie logaritmica
Teoremi generali
Teo 1. Condizione necessaria per la convergenza
Se la serie converge, allora
Quindi, se
Se il
Serie Resto
Esempio
Teo 2. Regolarità delle serie a termini non negativi
Ogni serie a termini non negativi è regolare.
Teo 3. Criterio del confronto
è uguale al teorema del confronto dei limiti
Date due serie
- se
diverge, allora diverge - se
converge, allora converge
Teo 4. Criterio del confronto asintotico
si riconduce al criterio del confronto
Date due serie entrambe positive
- se
- le due serie hanno lo stesso carattere
- se
e diverge positivamente diverge positivamente
- se
e converge converge
Teo 5. Criterio del rapporto
Data una serie a termini positivi, se
- se
(oppure ) la serie diverge positivamente - se
la serie converge. - se
non si può dedurre nulla.
Teo 6. Criterio della radice
Sia
- se
(oppure ) la serie DIVERGE POSITIVAMENTE - se
la serie CONVERGE - se
non si può dedurre nulla.
Esempio
quindi la serie converge
Teo 7. Criterio di Raabe
Sia
allora si ha:
- se
(oppure ) la serie CONVERGE - se
(oppure ) la serie DIVERGE POSITIVAMENTE - se
non possiamo dire nulla
Ricordare il seguente limite notevole
Esempio con "serie armonica generalizzata di esponente x"
Teo 8. Criterio dell’ordine infinitesimo
caso particolare del criterio del confronto asintotico
Sia
allora si ha:
- se
la serie CONVERGE - se
la serie DIVERGE POSITIVAMENTE
Inoltre:
- se
e la serie CONVERGE - se
e la serie DIVERGE POSITIVAMENTE
Teo 9. Serie assolutamente convergente
Diremo che
Esempio
applico il valore assoluto e verifico il carattere della funzione ottenuta
Serie a segni alterni
Criterio di Leibniz:
- se
è decrescente ed il , la serie CONVERGE
Criterio di non regolarità:
- se
è decrescente ed il , la serie OSCILLA - se
è crescente (e non nulla), la serie OSCILLA
Se
Crescente/Decrescente
Si considera
In alternativa, si può fare il seguente limite:
- se
- se
- se
non si può usare il limite e bisogna ricorrere allo studio della disequazione
Esempio