0. Guida su Teoria ed Esercizi

universitystudyingsubject-2103

Guida su Teoria ed Esercizi

Elementi di Analisi Matematica 2

1. Integrali

Primitive

Definizione

Sia .
è dotata di primitive in se tale che

1. è derivabile in

Nota

• Non tutte le funzioni hanno primitive (es. la funzione segno)
• Una funzione continua ha primitive. Una funzione non continua non implica il non avere primitive. La continuità è una condizione sufficiente, ma non necessaria.

Caratterizzazione delle primitive di una funzione in un intervallo

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
primitiva di in

Tesi
Tutte e sole le funzioni primitive di in sono le funzioni del tipo:

Dimostrazione

1. Dimostro che tutte le funzioni del tipo , con sono primitive di in

2. Dimostro che tutte le funzioni del tipo sono le sole primitive.
   Se è un’altra primitiva di in allora tale che
   Consideriamo la funzione . Essa è derivabile in e

Il 2° corollario di Lagrange dice: “se due funzioni hanno la stessa derivata in un intervallo, esse differiscono per una costante”.

Quindi,

Integrale Indefinito

Definizione

Si chiama Integrale indefinito di l’insieme formato dalle primitive di in se è dotata di primitive, l’insieme vuoto se non ha primitive in .

Integrali Indefiniti Notevoli

()

Integrali di Funzioni Composte

• gli altri sono uguali a quelli notevoli ma con , tutto per .

Proprietà di Omogeneità

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in

Tesi

1. è dotata di primitive in

Dimostrazione

1. Per ipotesi è dotata di primitive in e sia una sua primitiva.

2. Per provare la si dimostrano le due inclusioni.
   Si prova che

Dobbiamo provare che , quindi
Se possiamo dire che

Se proviamo che è uguale a una primitiva di in , allora abbiamo provato che .

In conclusione, è primitiva di in , quindi

Proviamo adesso l’altra inclusione

, quindi

Devo provare che è una primitiva di

Abbiamo dimostrato che è una primitiva di

Proprietà di Linearità

Enunciato

Ipotesi
dotate di primitive in

Tesi

1. è dotata di primitive in

Osservazione
Al secondo membro avviene la somma tra due insiemi, che di norma non è definita. Si intende invece l'insieme formato dalle funzioni che sono la somma di una delle primitive di e una delle primitive di .

1. , con primitiva di

Osservazione
Al secondo membro si intende che, quando si tratta di una somma con un integrale, è possibile omettere la costante.

Integrazione per decomposizione in somma

Enunciato

Ipotesi
dotate di primitive
non entrambi nulli ()

Tesi

1. è dotate di primitive in

Integrazione indefinita per parti

Enunciato

Ipotesi
derivabili
dotata di primitive in

Tesi

1. è dotata di primitive in

Dimostrazione

e sono derivabili, quindi lo è anche .

Spostando di membro si ottiene:

Si integrano entrambi i membri e per la proprietà di linearità si ottiene:

è detto fattore finito
è detto fattore differenziale

Integrali indefiniti ciclici

Metodo risolutivo

Per risolvere un integrale del tipo:

È sufficiente portare al primo l’integrale e risolvere l’equazione isolandolo.

Metodo di Sostituzione

Formula

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
derivabile in
continua in

Tesi
Formula di integrazione per sostituzione:

Formula

Enunciato

Ipotesi
dotata di primitive in
derivabile in
continua in

invertibile in

Tesi
Formula di integrazione per sostituzione:

todo come risolvere esercizio

Integrali di Polinomi Trigonometrici

Prerequisiti di Trigonometria

oppure

pari

1. Si scompone in
2. Si trasforma in e si divide la frazione in
3. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
4. Si scompone utilizzando la proprietà di linearità degli integrali.
5. Si procede ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.

dispari

1. Si scompone in
2. Si scompone in
3. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
4. Si moltiplica ogni membro della parentesi appena svolta per il iniziale.
5. Si procede utilizzando l’integrazione composta e i vari metodi risolutivi.

1. Si trasforma in
2. Si trasforma in
3. Si svolge la potenza elevando entrambi i fattori e ottenendo
4. Si può portare fuori la costante
5. Procedere ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.

con e entrambi pari

1. Si prende e si sceglie oppure di grado inferiore, scomponendolo in
2. Si svolge il quadrato di binomio se , il cubo di binomio se , ecc
3. Si scompone utilizzando la proprietà di linearità degli integrali.
4. Si procede ricorsivamente utilizzando i vari metodi risolutivi.

con almeno oppure dispari

1. Si prende e si sceglie oppure con il grado dispari. Se sono entrambi dispari è preferibile quello con il grado inferiore.
   supponiamo si sia scelto
2. Si scompone in .
3. Si procede come nel caso di con [[1. Integrali#n-dispari| dispari dallo step ]]

Integrali di Fratti Semplici

Caso 1:

Metodo risolutivo ( )

Metodo risolutivo ( )

Caso 2:

Metodo risolutivo

Il denominatore può essere scritto nel seguente modo:

Quindi si può svolgere l’integrale facendo riferimento all’uguaglianza precedente e all’integrazione notevole dell’:

Caso 3:

Caso Particolare

Metodo risolutivo

Se il numeratore è derivata del denominatore è sufficiente utilizzare l’integrazione fondamentale del .

Se il numeratore non è derivata del denominatore, bisogna fare in modo che lo diventi.

1. Si moltiplica il numeratore per se è dispari. Ricordarsi di aggiungere fuori dalla frazione per compensare il fattore appena aggiunto.
2. Fai sì di avere tra parentesi la derivata del denominatore, raccogliendo sulla base di . Ignora il fattore , metti al suo posto e compensa fuori dalle parentesi il valore aggiunto, annullandolo. Formalmente: .
3. Si divide la frazione in due e si procede in i vari metodi.

Integrali di Equazioni Razionali Fratte

grado grado

Metodo risolutivo

È sufficiente effettuare la divisione tra polinomi finché non si ottiene al numeratore un polinomio di grado inferiore al denominatore.

Si può quindi procedere con gli altri metodi risolutivi

grado grado

Scomposizione di Polinomi

Ogni polinomio di grado ha radici in . Si consideri polinomio:

1. Sia una radice reale con molteplicità di . Allora può essere diviso per

3. Sia una radice complessa con molteplicità di . Allora si può dividere per

Si tratta della potenza di un polinomio di secondo grado con ed equazione del tipo:

Quindi, ogni polinomio si può fattorizzare nel prodotto di potenze di polinomi di 1° grado (punto ) e potenze di polinomi di 2° grado con (punto ).

Fattorizzazione di Frazione

Si può dimostrare che una frazione del tipo è la somma dei fratti semplici del tipo:

Ad esempio:

Metodo risolutivo

Per risolvere gli integrali di razionali fratti con numeratore inferiore a denominatore è necessario:

1. Scomporre in fratti semplici la frazione. Trovare tramite sistema.
2. Utilizzare la proprietà della linearità degli integrali per separare ogni frazione.
3. Utilizzare gli altri metodi d’integrazione.

Trucchetti

Topologia in

Rettangolo

Definizione

Si definisce rettangolo di limitato il seguente insieme: .

Calcolo Area

La formula per il calcolo dell’area del rettangolo è la seguente:

Plurirettangolo

Definizione

Si definisce plurirettangolo l’unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni.

Calcolo Area

Sia

e

Enunciato

Dato un insieme dotato di punti interni e limitato, si definiscono due insiemi numerici e .

Essi sono entrambi non vuoti.

Misurabilità e calcolo area

Enunciato

Ipotesi
Siano e due insiemi così definiti:

Tesi
è misurabile secondo Peano-Jordan e la sua area è così definita:

Dimostrazione

todo

Integrale Definito

Decomposizione

Definizione

Dato un intervallo limitato, si chiama decomposizione di un insieme

I punti si chiamano capisaldi della decomposizione.

Ampiezza di decomposizione

Definizione

Somma Inferiore e Superiore

Definizione

Sia continua in .
Si consideri una sua decomposizione .
Siano

Si definiscono rispettivamente somma inferiore e somma superiore di relative a i seguenti numeri:

e

Definizione

Si definiscono due insiemi numerici e .

e sono contigui

Enunciato

Gli insiemi e sono contigui.

Dimostrazione

todo

---

Definizione

Data una funzione continua in , si chiama integrale definito tra e di f il seguente numero:

Proprietà

Proprietà Distributiva

Enunciato

Ipotesi
continue

Tesi

Proprietà Additiva

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

Teorema della Media

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

1. con e

Dimostrazione

todo

Proprietà di Monotonia

Enunciato

Ipotesi
continue

Tesi

In particolare, se , allora .
Inoltre,

Funzione Integrale

Definizione

Data una funzione continua e un punto .
Si consideri definita da

si chiama funzione integrale di punto iniziale .

Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Enunciato

Ipotesi
continua

Tesi

1. è derivabile in

Si può enunciare come

Ogni funzione continua in un intervallo è dotata di primitive.

Dimostrazione

todo

Formula Fondamentale per il Calcolo degli Integrali Definiti

Enunciato

Ipotesi
continua
primitiva di in

Tesi

Dimostrazione

todo

Risoluzione esercizi

Valore assoluto

Metodo risolutivo

Si studia il segno di se tra e la funzione ha sempre lo stesso segno, allora la risoluzione è immediata e si procede sostituendo con a seconda del segno di .

Mettiamo caso che la funzione sia positiva in e negativa in .
L’integrale si scompone come segue: .

Si procede in maniera simile anche a segni invertiti o nel caso in cui ci siano più punti in cui la funzione cambia segno.

Link to original

2. Equazioni Differenziali

ordine

Definizione

Sia e sia .
Si chiama equazione differenziale del ordine (scritta in forma normale)

il problema della ricerca delle funzioni

tali che:

• è derivabile in

si chiama soluzione dell’equazione di
L’insieme formato da tutte e sole le soluzioni di si chiama integrale generale dell’equazione data.

ordine

Definizione

Sia e sia .
Si chiama equazione differenziale del ordine (scritta in forma normale)

il problema della ricerca delle funzioni

tali che:

• è derivabile 2 volte in

Problema di Cauchy

ordine

Enunciato

Sia .
Si chiama problema di Cauchy associato a un’equazione differenziale di primo ordine di punto iniziale

il problema della ricerca delle soluzioni dell’equazione che verificano la condizione

si dice condizione iniziale.

ordine

Enunciato

Sia .
Si chiama problema di Cauchy associato a un’equazione differenziale di primo ordine di punto iniziale

il problema della ricerca delle soluzioni dell’equazione che verificano le condizioni

e si dicono condizioni iniziali.

Si può dimostrare che, lavorando con funzioni continue, il problema di Cauchy ammette una e una sola soluzione.

Metodi risolutivi per alcune classi di equazioni differenziali

Esistono tante altre classi. Le funzioni possono essere in contemporanea di più classi, o di nessuna

ordine

A variabili separabili

con continua, continua.

Soluzioni

Una soluzione dell’equazione è una funzione

tale che:

• è derivabile in

Soluzioni di categoria (di tipo costante)

Se , preso , la funzione è soluzione in .
Infatti:

Soluzioni di categoria

Sono le soluzioni definite in tale che:
todo

Soluzioni di categoria

Sono le soluzioni definite in tale che:

Lineare

: coefficiente
: termine noto

Equazione omogenea

Se l’equazione si dice omogenea.

Soluzioni

con

Dimostrazione

Risolvo l’equazione

Ci ritroviamo un’equazione a variabili separabili

categoria

categoria

Le soluzioni saranno quindi

Equazione completa

Se non è omogenea, l’equazione si dice completa.

Soluzioni

con
con prendendo
è una soluzione dell’equazione differenziale calcolata mediante il metodo della variazione delle costanti.

ordine

Lineare

, : coefficiente
: termine noto

Wronksiano

Due soluzioni e si dicono indipendenti se

Equazione omogenea

Soluzioni

con e funzioni indipendenti soluzioni dell’equazione (EO).

Coefficienti costanti

sarà l’unico caso trattato
Si trovano le soluzioni dell’equazione di secondo grado rispetto a . Equazione caratteristica:

Le funzioni indipendenti soluzione dell’equazione omogenea sono:

• Se le soluzioni di (EQ2) sono reali e distinte:

• Se le soluzioni di (EQ2) sono reali e coincidenti:

• Se le soluzioni di (EQ2) sono complesse coniugate:

dove

Equazione completa

Soluzioni

con e funzioni indipendenti soluzioni dell’equazione (EO) e soluzione dell’equazione (EC).

*Trattiamo soltanto il caso a coefficienti costanti e con , con polinomio di grado a coefficienti complessi.

Metodo risolutivo

Si calcolano e considerando l’equazione omogenea associata a quella completa.

Bisogna trovare , dove:

• è un polinomio di grado .
  • se allora
  • se allora
  • se allora
• coincide con la molteplicità di nelle soluzioni dell’equazione caratteristica
  • se e , allora
  • se o (), allora
  • se (), allora

Si sostituisce nell’equazione originale, calcolando le relative e .

Se è una somma, si può scomporre in diverse funzioni, calcolando ogni separatamente sommando alla fine le trovate.

Metodo risolutivo per complesso

Potrebbe capitare che non sia direttamente nella forma , ma che ad esempio contenga o .
Bisogna ricondurli nella forma .
Si ricorda:

Nel caso in cui contenga, ad esempio, , si riconduce utilizzando la formula (EXP), ignorando l’assenza del (lo stesso vale al contrario).
Si risolve normalmente l’equazione completa, tenendo conto alla fine di ignorare:

• la parte immaginaria di nel caso in cui si fosse ignorato (la parte immaginaria di (EXP)).
• la parte reale di nel caso in cui si fosse ignorato (la parte reale di (EXP)).

Link to original

3. Funzioni di due variabili

Topologia in

Intorno circolare

Definizione

È detto intorno circolare di di raggio il seguente insieme:

dove indica la distanza euclidea.

Punti di un insieme

Punto interno

Definizione

Dato un punto , esso si dice interno ad se ed esiste tale che

L’insieme dei punti interni di un insieme è detto interno.

Punto di frontiera

Definizione

Dato un punto , esso si dice di frontiera per se in ogni suo intorno circolare ci sono elementi di ed elementi di

L’insieme dei punti di frontiera di un insieme è detto frontiera.

Punto di accumulazione

Definizione

Dato un punto , esso si dice di accumulazione per se in ogni suo intorno ci sono elementi di distinti da .

L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme è detto derivato.

---

Insieme aperto

Definizione

Un insieme è detto aperto se coincide con il suo interno, o se è vuoto.
È detto chiuso se il suo complementare è aperto.

Nota

Un insieme può non essere né aperto né chiuso.

Insieme limitato

Definizione

Un insieme è detto limitato se esistono e tali che .

---

Funzione restrizione

??

Limite

Funzione regolare

Teorema

Una funzione è detta regolare al tendere di a se è convergente o divergente (se ha limite).

Condizione sufficiente e necessaria

Teorema

Siano e .
Se allora esisterà anche il limite di ogni restrizione di (che ovviamente contiene ).

Quindi, se esistono due restrizioni con limite diverso, non esiste il limite della funzione.

Calcolo limite

Se troviamo due restrizioni con limiti diversi possiamo dire con certezza che il limite non esiste.
Se troviamo una restrizione con limite , se il limite esiste possiamo affermare che dev’essere uguale ad .

Equazioni rette passanti per punto

È una condizione sufficiente per poter dire che il limite di una funzione in un punto non esiste.
Equivale a controllare tutte le rette passanti per il punto per cui si è interessati a calcolare il limite, per verificare che abbiano lo stesso limite.

Procedimento

Si prende la seguente restrizione:

Si calcola quindi e poi si fa il limite.
Se il risultato dipende da , possiamo affermare che il limite non esiste.
In caso contrario, se il limite non dipende da , ed è quindi una costante , possiamo dire che il limite, se esiste, è .
Si può fare un ulteriore controllo prendendo l’unica retta rimanente con il seguente insieme:

Nota

Per dimostrare che il limite di una funzione esiste è necessario utilizzare il teorema dei carabinieri.

Teorema di carabinieri

Utilizzato per dimostrare che, nel caso di forma indeterminata, il limite esiste ed è .

Procedimento

Si cerca di dimostrare che il limite è . Bisogna prendere due funzioni e tali che . Se e hanno lo stesso limite, allora anche avrà lo stesso limite.

Come si prende sempre . Si prende in considerazione la funzione .

Bisogna trovare . In generale si cerca di utilizzare le seguenti disuguaglianze per poter scomporre e trovare una funzione che sia maggiore di ma con il limite che non porti a una forma indeterminata.

Derivate

Derivate parziali prime

Rispetto a

Si calcola considerando come costante. Si indica con oppure

Rispetto a

Si calcola considerando come costante. Si indica con oppure

Gradiente

Definizione

Data una funzione , se essa è dotata di entrambe le derivate parziali prime in , si chiama gradiente il vettore di nel punto .

Derivate parziali seconde

Pure

si ottengono derivando due volte sulla stessa incognita

Miste

Teorema

Data una funzione dotata di derivate seconde miste. Sia . Se le funzioni e sono continue nel punto , allora .

Differenziabilità

La continuità è una condizione necessaria per la differenziabilità (come avviene nella funzioni di una variabile per la derivabilità).

Una condizione necessaria alla differenziabilità è la presenza di tutte le derivate direzionali. Non vale però il contrario.
Lo stesso accade per la continuità. Un punto continuo non è detto che sia differenziabile, ma vale il contrario.

Una condizione sufficiente per la differenziabilità è la presenza di entrambe le derivate parziali, di cui almeno una delle due continua.

Teorema

Se è differenziabile in un punto , allora è continua in quel punto e dotata di derivate parziali prime.

Teorema

Se è dotata di derivate parziali prime continue in un punto , allora è differenziabile in quel punto.

Derivate Direzionali

Le derivate non esistono soltanto rispetto alle due assi e .
Possono essere calcolate in direzione rispetto a un versore .
Le derivate parziali prime sono infatti le derivate calcolate rispetto ai versori e rispetto a e rispettivamente.

La differenziabilità è una condizione sufficiente per la presenza della derivata rispetto a un qualsiasi versore.

Per calcolarlo si tratta quindi di un prodotto scalare tra e

Ottenere versore da retta

Se si ha una retta e si vuole ottenere il versore parallelo è necessario scrivere l’equazione della retta nella forma . Il versore sarà quindi parallelo a . ( coincide con il coefficiente della , che nell’equazione in forma normale è sempre )
Per definizione, la lunghezza del versore dev’essere uguale a . Si calcola quindi la distanza euclidea tra e :
Si dividono entrambe le componenti del vettore per per ottenere il versore:

Se si vuole ottenere il versore perpendicolare a una retta, è necessario utilizzare il metodo precedente e calcolare il vettore parallelo. Si invertono le componenti e si inverte il segno di una delle due.
Ad esempio, si ottiene come vettore parallelo. I vettori perpendicolari saranno e

Estremi relativi e assoluti

Definizione

Diremo che un punto è un punto di massimo relativo di se

Teorema di Fermat

Teorema

Se un punto interno di ed è un punto di estremo relativo di e se è dotata di derivata lungo la direzione del versore nel punto allora

Inoltre, se in quel punto è dotata di entrambe le derivate parziali prime, allora varrà:

Tali punti si dicono stazionari.

I punti stazionari possono essere:

• punti di estremo relativo
• punti di sella

Hessiano

Classificazione Punti Stazionari

Si possono classificare i punti stazioni in estremi relativi o punti di sella effettuando uno studio dell’hessiano.

• Se
  • Il punto è un punto di minimo relativo
• Se
  • Il punto è un punto di massimo relativo.
• non può mai accadere che sia uguale a se l’hessiano è positivo.

• Il punto è un punto di sella

• non trattato nel corso

Ricerca dei Punti Stazionari

Si risolve il seguente sistema:

Non riusciamo quindi a trovare i punti in cui una delle due (o entrambe) derivate non esiste.

Ricerca del massimo e minimo assoluto

Per il teorema di Weierstrass, se una funzione continua è chiusa e limitata allora ammette massimo e minimo assoluti.

Si calcolano i seguenti insiemi:

• : insieme dei punti interni ad stazionari.
• : insieme dei punti interni ad in cui:
  • manca una delle due derivate prime
  • mancano entrambe le derivate prime
• : insieme dei punti di frontiera di .

Quindi:

si procede con il sistema.

se la funzione è derivabile è .

1. Si prende in considerazione la frontiera di .
   • spesso il dominio della funzione viene ristretto a un insieme di vertici (3 o 4).
2. Si calcolano le restrizioni rispetto ai segmenti di .
   • es. Se la restrizione è una retta parallela all’asse delle (con equazione ), calcolo .
   • es. Se la restrizione è una retta obliqua, si trova l’equazione della retta passante per i due punti e si trova la legge che associa a .
3. Si calcola la derivata prima e si pone uguale a .
4. Si calcola il valore della funzione nei punti trovati.

Link to original

4. Serie

Serie Fondamentali

Serie Telescopica

Serie Geometrica di ragione

Serie armonica

Serie armonica generalizzata

Serie esponenziale

Serie logaritmica

Teoremi generali

Teo 1. Condizione necessaria per la convergenza

Se la serie converge, allora .
Quindi, se si può dedurre che la serie non converge.
Se il e allora la serie diverge positivamente (se la serie non è sempre positiva, potrebbe divergere o oscillare).

Serie Resto

Esempio

Teo 2. Regolarità delle serie a termini non negativi

Ogni serie a termini non negativi è regolare.

Teo 3. Criterio del confronto

è uguale al teorema del confronto dei limiti
Date due serie e con , allora

• se diverge, allora diverge
• se converge, allora converge

Teo 4. Criterio del confronto asintotico

si riconduce al criterio del confronto
Date due serie entrambe positive e (mai zero):

• se
  • le due serie hanno lo stesso carattere
• se e diverge positivamente
  • diverge positivamente
• se e converge
  • converge

Teo 5. Criterio del rapporto

Data una serie a termini positivi, se , allora

• se (oppure ) la serie diverge positivamente
• se la serie converge.
• se non si può dedurre nulla.

Teo 6. Criterio della radice

Sia una serie a termini non negativi, se , allora

• se (oppure ) la serie DIVERGE POSITIVAMENTE
• se la serie CONVERGE
• se non si può dedurre nulla.

Esempio

quindi la serie converge

Teo 7. Criterio di Raabe

Sia una serie a termini positivi, se

allora si ha:

• se (oppure ) la serie CONVERGE
• se (oppure ) la serie DIVERGE POSITIVAMENTE
• se non possiamo dire nulla

Ricordare il seguente limite notevole

Esempio con "serie armonica generalizzata di esponente x"

Teo 8. Criterio dell’ordine infinitesimo

caso particolare del criterio del confronto asintotico
Sia una serie a termini non negativi, se:

allora si ha:

• se la serie CONVERGE
• se la serie DIVERGE POSITIVAMENTE

Inoltre:

• se e la serie CONVERGE
• se e la serie DIVERGE POSITIVAMENTE

Teo 9. Serie assolutamente convergente

Diremo che è assolutamente convergente se è convergente

Esempio

applico il valore assoluto e verifico il carattere della funzione ottenuta

Serie a segni alterni

Criterio di Leibniz:

• se è decrescente ed il , la serie CONVERGE

Criterio di non regolarità:

• se è decrescente ed il , la serie OSCILLA
• se è crescente (e non nulla), la serie OSCILLA

Se è monotona, la serie a segni alterni non può divergere.

Crescente/Decrescente

Si considera positivo, quindi si possono dividere le disequazioni per senza problemi di segno.

In alternativa, si può fare il seguente limite:

• se
• se
• se non si può usare il limite e bisogna ricorrere allo studio della disequazione

Esempio

Limiti notevoli

Trucchetti

Link to original